Pertidaksamaan Nilai Mutlak – Rumus, Sifat, Konsep & Contoh Soal
Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Pertidaksamaan Nilai Mutlak – Rumus, Properti, Konsep & Contoh Soal – LecturerEducation.Com– Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang mengandung ekspresi >, ≥, <, atau ≤. Sedangkan pertidaksamaan atau pertidaksamaan mutlak adalah pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai penggantian variabel. Pertidaksamaan yang selalu salah untuk setiap variabel pengganti disebut pertidaksamaan palsu.
Sifat Ketimpangan
Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dijumlahkan atau dikurangi dengan bilangan yang sama.
Jika a < b maka:
a + c < b + c
a – c < b – c
Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama
Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka:
Tanda pertidaksamaan berubah ketika kedua sisi pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama
Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka:
Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua sisi positifnya dikuadratkan
Jika a Baca juga: Rumus Deret Geometri
→ Variabel memiliki kekuatan 2
Penyelesaian:
Gambarlah garis bilangan
Tentukan himpunan penyelesaiannya
→ Jika tanda pertidaksamaan > 0 berarti daerah yang diarsir pada garis bilangan adalah yang bertanda (+) Contoh:
(2x – 1)2 ≥ (5x – 3).(x – 1) – 7 –x2 + 4x + 5 ≥ 0 Harga nol: x – 5 = 0 atau x + 1 = 0 Nomor baris:
Menggunakan titik hitam karena tanda pertidaksamaan ≥ Karena 0 berada di antara –1 dan 5, luasnya positif, kiri dan kanannya negatif Jadi solusinya: {x | –1 ≤ x ≤ 5}
Baca juga: integral trigonometri
→ Variabel daya lebih besar dari 2
Pemecahannya sama dengan pertidaksamaan kuadrat
Contoh: Harga nol: 2x + 1 = 0 atau x – 2 = 0 atau x – 3 = 0
x = –1/2 atau x = 2 atau x = 3
Nomor baris:
Jadi solusinya: {x | 2 < x < 3}
→ ada pembilang dan penyebut
Penyelesaian:
Tentukan tanda (+) atau (–) pada setiap interval
Contoh 1:
Nilai pembilang nol: –5x + 20 = 0 Nilai penyebut nol: x – 3 = 0 → x = 3
Nomor baris:
→ x = 3 digambar menggunakan titik putih karena merupakan nilai nol untuk penyebutnya
Baca juga: Lingkar
Contoh 2:
Nilai pembilang nol: x – 2 = 0 atau x + 1 = 0 Nilai penyebut nol: tidak ada, karena penyebutnya tidak dapat difaktorkan dan jika dihitung nilai diskriminannya: Nilai D negatif, sehingga persamaan tidak memiliki akar real
(Catatan: jika nilai D tidak negatif, gunakan rumus abc untuk mendapatkan nilai nol) Jadi solusinya: {x | x ≤ –1 atau x ≥ 2}
→ Variabel dalam tanda akar
Penyelesaian:
Contoh 1:
Kuadratkan kedua sisi:
x2 – 5x – 6 < x2 – 3x + 2 Sepanjang waktu –1:
2x + 8 > 0 Kondisi 1:
x2 – 5x – 6 ≥ 0 Harga nol: x – 6 = 0 atau x + 1 = 0 Kondisi 2:
x2 – 3x + 2 ≥ 0 Harga nol: x – 2 = 0 atau x – 1 = 0 Nomor baris:
Jadi solusinya: {x | –4 < x ≤ –1 atau x ≥ 6}
Baca juga: Belah ketupat
Contoh 2:
Kuadratkan kedua sisi:
x2 – 6x + 8 < x2 – 4x + 4 Semua dikalikan dengan –1 Kondisi:
x2 – 6x + 8 ≥ 0 Harga nol: x – 4 = 0 atau x – 2 = 0 Nomor baris:
Jadi solusinya: {x | x ≥ 4}
→ variabel berada di dalam tanda mutlak | ….. | Definisi nilai absolut:
Penyelesaian:
Jika |x| < a artinya: –a < x < a, di mana a ≥ 0 Contoh 1:
|2x – 3| ≤ 5
cara:
–5 ≤ 2x – 3 ≤ 5 Semua dibagi 2: Contoh 2:
|3x + 7| > 2
cara:
3x + 7 < –2 or 3x + 7 > 2 Baca juga: Bilangan Prima Adaitu dia
Contoh 3:
|2x – 5| < |x + 4|
Kedua sisi kuadrat:
(2x – 5)2 < (x + 4)2 Harga nol: 3x – 1 = 0 atau x – 9 = 0 Nomor baris:
Jadi solusinya: {x | 1/3 < x < 4}
Contoh 4: Kedua sisi kuadrat:
(4x – 3)2 ≥ (x + 1)2 Harga nol: 5x – 2 = 0 atau 3x – 4 = 0
x = 2/5 atau x = 4/3
Kondisi:
x + 1 ≥ 0 Nomor baris:
Jadi solusinya: {x | –1 ≤ x ≤ 2/5 atau x ≥ 4/3}
Contoh 5:
|x – 2|2 – |x – 2| < 2
Misalnya |x – 2| = y Harga nol: y – 2 = 0 atau y + 1 = 0 Nomor baris:
Itu berarti:
–1 < y < 2 Karena nilai mutlak harus positif, batas kiri tidak berlaku
|x – 2| < 2
Yang seperti itu:
–2 < x –2 < 2 Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang mengandung ekspresi >, ≥, <, atau ≤. Sedangkan pertidaksamaan atau pertidaksamaan mutlak adalah pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai penggantian variabel. Pertidaksamaan yang selalu salah untuk setiap variabel pengganti disebut pertidaksamaan palsu.
Contoh. 1
(a) x ≠ y
(b) x < y
(c) 2x ≥ 5
(d)x2 – 5 + 6 ≤. 6
(e) │1 – x│> 2, dan seterusnya , untuk setiap x, y € R (himpunan bilangan real).
Seperti pada persamaan dalam pertidaksamaan tidak berlaku untuk variabel pengganti manapun. Nilai variabel yang memenuhi pertidaksamaan disebut solusi, dan himpunan semua variabel pengganti yang menyebabkan pertidaksamaan menjadi kalimat tertutup yang benar disebut himpunan solusi untuk ketidaksetaraan.
Sebaliknya, pertidaksamaan mutlak atau pertidaksamaan mutlak adalah pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabel. Pertidaksamaan mutlak ini sering juga disebut pertidaksamaan dan tentunya pertidaksamaan ini merupakan kalimat matematika tertutup.
Contoh :
(1). (x – 1)2 ≥ 0
(2). X + 2 > x + 1
(3). -3x2 – 7x – 6 < 0
(4). -(x – 1)2 ≤ 0
(5).│3x–4│ > – │ -1│
Selain itu, ada juga pertidaksamaan yang selalu bernilai salah untuk setiap variabel penggantinya, yang disebut pertidaksamaan palsu.
Contoh :
(1). X2 +2 ≤ 0
(2). X + 2 ≥ x + 3
(3). (x – 2)2 < 0
(4).│2x – 3│ > -│-x│
Teorema 4
Jika P(x), Q(x), dan R(x) adalah ekspresi dalam x, maka untuk semua nilai real x, P(x), Q(x), dan R(x), kalimatnya terbuka P(x) < Q(x) setara dengan masing-masing berikut ini :
untuk x € { x/R(x) > 0 }
untuk x € { x/R(x) > 0 }
Demikian juga untuk kalimat terbuka P(x) ≤ Q(x) ekivalen dengan kalimat terbuka dari bentuk A ke bentuk E dengan mengganti < (or >) dengan ≤ (atau ≥) dengan syarat yang sama yaitu R(x ) > 0 dan R(x) < 0 seperti di atas.
Teorema 5
Jika x € R, a € R, dan a > 0, maka x < a, jika dan hanya jika -a < x < a.
Untuk membuktikan teorema ini, dua bagian harus dibuktikan, yaitu:
(1). Jika│x│< a, maka -a < x < a.
(2). Jika -a < x < a, maka │x│ < a
Bukti :
Untuk setiap x € R,│x│ ≥ 0.
Karena a > 0, maka -a < 0
Jadi untuk setiap x, -a <│x│ .
Sekarang mari kita lihat dulu x 0.
Dalam hal ini,│x│ = x.
Karena -a < │ x │,│x│ = x, dan │x│< a, maka -a < x < a (terbukti).
Sekarang mari kita lihat x < 0
Dalam hal ini │ x│= -x.
Karena -a < │x│ , │ x│ = -x, dan │x│< a, maka -a < -x < a.
Kalikan dengan (-1), kita dapatkan
a> x > -a atau -a < x < a (terbukti).
Teorema 6
Jika x € R, a € R, dan a > 0, maka │x│> a, jika dan hanya jika x < -a or x > sebuah.
Buktinya dipersilakan untuk para pembaca yang mempelajarinya
Cobalah.
Contoh :
Temukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan│ x + 1│< 3.
Resolusi:
Menurut teorema 5,
│x + 1│< 3.
Jika dan hanya jika
-3 < x + 1 < 3
Tambahkan -1 ke setiap sisi untuk mendapatkan -4 < x < 2
Jadi himpunan penyelesaiannya
{ x / -4 < x < 2 }
Himpunan solusi juga dapat ditulis menggunakan simbol persimpangan:
{ x / x > -4 } ∩ { x / x < 2 }.
Teorema 7
Untuk setiap R, x ≤ │x│.
Bukti: Jika x ≥ 0, maka x = │x│(definisi)
Jika x < 0, maka x < │x │, karena │x│≥ 0
Jadi dalam hal ini x ≤ │x│ dan –x ≤ |-x| karena |–x| = |x| = x
Teorema 8
Jika x R, y R, maka
(1). │x – y│≥│x│-│y│
(2). │x +y│≤ │x│+│y│
Demikian penjelasan artikel diatas semoga bermanfaat bagi para pembaca setia kami… Terimakasih…
Pertidaksamaan Kuadrat
→ Jika tanda pertidaksamaan < 0 berarti luasan pada garis bilangan yang diarsir diberi tanda (–)
4×2 – 4x + 1 ≥ 5×2 – 5x – 3x + 3 – 7
4×2 – 4x + 1 – 5×2 + 5x + 3x – 3 + 7 ≥ 0
–(x2 – 4x – 5) ≥ 0
–(x – 5).(x + 1) ≥ 0
x = 5 atau x = –1
Jika x = 0 dimasukkan, hasilnya positif
Karena tanda pertidaksamaan ≥ 0, maka bagian yang diarsir adalah positif
Ketidaksetaraan Tingkat Tinggi
(2x + 1)2.(x2 – 5x + 6) < 0
(2x + 1)2.(x – 2).(x – 3) < 0
Pertidaksamaan Pecahan
–5x = –20 → x = 4
x = 2 atau x = –1
D = b2 – 4.ac = 12 – 4.1.1 = 1 – 4 = –3
Nomor baris:
Pertidaksamaan Irasional/Pertidaksamaan Bentuk Akar
x2 – 5x – 6 – x2 + 3x – 2 < 0
–2x – 8 < 0
2x > –8
x > –4
(x – 6).(x + 1) ≥ 0
x = 6 atau x = –1
(x – 2).(x – 1) ≥ 0
x = 2 atau x = 1
x2 – 6x + 8 – x2 + 4x – 4 < 0
–2x + 4 < 0
–2x < –4
2x > 4
x > 2
(x – 4).(x – 2) ≥ 0
x = 4 atau x = 2
Pertidaksamaan Nilai Mutlak
(tanda mutlak selalu memberikan hasil positif, contoh: |3| = 3; |–3| = 3)
Jika |x| > sarana: x < –a or x > a, di mana a ≥ 0
–5 + 3 ≤ 2x ≤ 5 + 3
–2 ≤ 2x ≤ 8
–1 ≤ x ≤ 4
3x < –2 – 7 or 3x > 2 – 7
x < –3 or x > –5/3
(2x – 5)2 – (x + 4)2 < 0
(2x – 5 + x + 4).(2x – 5 – x – 4) < 0 (Ingat! a2 – b2 = (a + b).(a – b))
(3x – 1).(x – 9) < 0
x = 1/3 atau x = 9
|4x – 3| ≥ x + 1
(4x – 3)2 – (x + 1)2 ≥ 0
(4x – 3 + x + 1).(4x – 3 – x – 1) ≥ 0
(5x – 2).(3x – 4) ≥ 0
x ≥ –1
y2 – y < 2
y2 – y – 2 < 0
(y – 2).(y + 1) < 0
y = 2 atau y = –1
–1 < |x – 2| < 2
–2 + 2 < x < 2 + 2
0 < x < 4
Ketimpangan Harga Mutlak
ketidaksamaan
Sifat Ketimpangan
Ketimpangan Harga Mutlak
